Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo: fórmula de cálculo

Las series de Fourier son una herramienta matemática utilizada para descomponer una función periódica en una combinación de funciones trigonométricas simples, como cosenos y senos. Estas series son ampliamente utilizadas en diversos campos, como la física, la ingeniería y las matemáticas aplicadas.

En este artículo, nos centraremos en las series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo. Exploraremos la fórmula para calcular los coeficientes de la serie de Fourier y la fórmula para calcular la serie de Fourier de una función de medio intervalo.

Definición de la serie de Fourier

Antes de entrar en los detalles de las series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo, es importante comprender la definición básica de una serie de Fourier.

Dada una función periódica f(x) con período T, la serie de Fourier de f(x) se define como:

f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))

donde a0, an y bn son los coeficientes de la serie de Fourier, ω es la frecuencia angular (ω = 2π/T) y n es un número entero positivo.

La serie de Fourier representa la función periódica f(x) como una combinación infinita de cosenos y senos con diferentes frecuencias y amplitudes.

Fórmula para calcular los coeficientes de la serie de Fourier

La fórmula para calcular los coeficientes de la serie de Fourier depende de la función periódica f(x) que se desea descomponer. En el caso de una función par, como un coseno, los coeficientes an son cero y solo se necesitan los coeficientes bn. Por otro lado, en el caso de una función impar, como un seno, los coeficientes bn son cero y solo se necesitan los coeficientes an.

La fórmula general para calcular los coeficientes de la serie de Fourier es:

an = (2/T) * ∫[0,T] f(x) * cos(nωx) dx
bn = (2/T) * ∫[0,T] f(x) * sin(nωx) dx

Donde ∫[0,T] representa la integral definida en el intervalo de un período completo de la función f(x).

Fórmula para calcular la serie de Fourier de una función de medio intervalo

En algunos casos, es posible que tengamos una función definida solo en un medio intervalo, por ejemplo, en el intervalo [0,L]. En este caso, la fórmula para calcular la serie de Fourier debe modificarse para adaptarse a la función de medio intervalo.

La fórmula para calcular los coeficientes de la serie de Fourier de una función de medio intervalo es:

an = (2/L) * ∫[0,L] f(x) * cos(nπx/L) dx
bn = (2/L) * ∫[0,L] f(x) * sin(nπx/L) dx

Donde L es la longitud del medio intervalo.

Ejemplo de cálculo de la serie de Fourier de una función de medio intervalo

Para ilustrar el cálculo de la serie de Fourier de una función de medio intervalo, consideremos la función f(x) definida en el intervalo [0,π] como:

f(x) = x

Para calcular los coeficientes de la serie de Fourier, utilizamos las fórmulas modificadas para una función de medio intervalo:

an = (2/π) * ∫[0,π] x * cos(nπx/π) dx
bn = (2/π) * ∫[0,π] x * sin(nπx/π) dx

Calculando las integrales, obtenemos:

an = (2/π) * ∫[0,π] x * cos(nπx/π) dx
= (2/π) * [x * (π/n) * sin(nπx/π) - (π/n)^2 * cos(nπx/π)] | [0,π]
= (2/π) * [(π * sin(nπ) - 0) - (0 - 0)]
= 2 * sin(nπ)
= 0

bn = (2/π) * ∫[0,π] x * sin(nπx/π) dx
= (2/π) * [-x * (π/n) * cos(nπx/π) + (π/n)^2 * sin(nπx/π)] | [0,π]
= (2/π) * [-(π * cos(nπ) - 0) + (0 - 0)]
= -2 * cos(nπ)
= (-1)^n * 2

Por lo tanto, la serie de Fourier de la función f(x) en el intervalo [0,π] es:

f(x) = Σ((-1)^n * 2 * sin(nπ) * sin(nπx/π))

Conclusiones

Las series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo son herramientas poderosas para descomponer funciones periódicas en una combinación de funciones trigonométricas simples. La fórmula para calcular los coeficientes de la serie de Fourier nos permite determinar las amplitudes y frecuencias de los cosenos y senos que componen la función periódica.

En el caso de una función de medio intervalo, la fórmula se modifica para adaptarse al intervalo dado. Esto nos permite calcular la serie de Fourier incluso cuando solo tenemos información sobre la función en un medio intervalo.

Las series de Fourier tienen aplicaciones en diversos campos, como el análisis de señales, la compresión de datos y la resolución de ecuaciones diferenciales. Comprender la fórmula de cálculo de las series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo es fundamental para utilizar esta herramienta de manera efectiva en problemas prácticos.